Случайной величиной Называется величина, которая в результате испытаний, проводимых в одних и тех же условиях, принимает различные, вообще говоря, значения, зависящие от не учитываемых случайных факторов. Примеры случайных величин: число выпавших очков на игральной кости, число дефектных изделий в партии, отклонение точки падения снаряда от цели, время безотказной работы устройства и т. п. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной Называется случайная величина, возможные значения которой образуют счетное множество, конечное или бесконечное (т. е. такое множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Непрерывной Называется случайная величина, возможные значения которой непрерывным образом заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал числовой оси. Число значений непрерывной случайной величины всегда бесконечно.

Случайные величины будем обозначать заглавными буквами конца латинского алфавита: X , Y , . ; значения случайной величины – строчными буквами: Х, у, . . Таким образом, X Обозначает всю совокупность возможных значений случайной величины, а Х – Некоторое ее конкретное значение.

Законом распределения дискретной случайной величины называется задаваемое в любой форме соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Пусть возможными значениями случайной величины X Являются . В результате испытания случайная величина примет одно из этих значений, т. е. Произойдет одно событие из полной группы попарно несовместных событий.

Пусть также известны вероятности этих событий:

Закон распределения случайной величины X Может быть записан в виде таблицы, которую называют Рядом распределения Дискретной случайной величины:

Случайные величины. Дискретная случайная величина.
Математическое ожидание

Второй раздел по теории вероятностей посвящён случайным величинам , которые незримо сопровождали нас буквально в каждой статье по теме. И настал момент чётко сформулировать, что же это такое:

Случайной называют величину , которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.

Случайные величины, как правило, обозначают через * , а их значения – соответствующими маленькими буквами с подстрочными индексами, например, .

* Иногда используют , а также греческие буквы

Пример встретился нам на первом же уроке по теории вероятностей , где мы фактически рассмотрели следующую случайную величину:

– количество очков, которое выпадет после броска игрального кубика.

В результате данного испытания выпадет одна и только грань, какая именно – не предсказать (фокусы не рассматриваем) ; при этом случайная величина может принять одно из следующий значений:

– количество мальчиков среди 10 новорождённых.

Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

Либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах) .

Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта 🙂

Тем не менее, ваши гипотезы?

Коль скоро, множество действительных чисел бесконечно, то случайная величина может принять бесконечно много значений из некоторого промежутка. И в этом состоит её принципиальное отличие от предыдущих примеров.

Таким образом, случайные величины целесообразно разделить на 2 большие группы :

1) Дискретная (прерывная) случайная величина – принимает отдельно взятые, изолированные значения. Количество этих значений конечно либо бесконечно, но счётно .

…нарисовались непонятные термины? Срочно повторяем основы алгебры !

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Примечание : в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную .

Закон распределения дискретной случайной величины

– это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения , но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент : поскольку случайная величина обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

или, если записать свёрнуто:

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах 🙂 Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля .

Решение : так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу , а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Разоблачаем «партизана»:

– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Ответ :

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности , теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера :

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение : как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания . Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению :
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:

И для :

Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ : искомый закон распределения выигрыша:

Следующее задание для самостоятельного решения:

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.

…я знал, что вы по нему соскучились 🙂 Вспоминаем теоремы умножения и сложения . Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики .

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

или в свёрнутом виде:

Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:

В чём состоит вероятностный смысл полученного результата? Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близкО к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе. Собственно, об этом эффекте я уже подробно рассказывал на уроке о статистической вероятности .

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

Таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно .

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры 🙂 Ну, может, только ради развлечения .

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка : европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь дисперсия , о которой мы узнаем во 2-й части урока.

Но прежде будет полезно размять пальцы на клавишах калькулятора:

Случайная величина задана своим законом распределения вероятностей:

Найти , если известно, что . Выполнить проверку.

Тогда переходим к изучению дисперсии дискретной случайной величины , и по возможности, ПРЯМО СЕЙЧАС!! – чтобы не потерять нить темы.

Решения и ответы:

Пример 3. Решение : по условию – вероятность попадания в мишень. Тогда:
– вероятность промаха.

Составим – закон распределения попаданий при двух выстрелах:

– ни одного попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий :

– одно попадание. По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения независимых событий :

– два попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

Проверка: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Ответ :

Примечание : можно было использовать обозначения – это не принципиально.

Пример 4. Решение : игрок выигрывает 100 рублей в 18 случаях из 37, и поэтому закон распределения его выигрыша имеет следующий вид:

Вычислим математическое ожидание:

Таким образом, с каждой поставленной сотни игрок в среднем проигрывает 2,7 рубля.

Пример 5. Решение : по определению математического ожидания:

поменяем части местами и проведём упрощения:

таким образом:

Выполним проверку:

, что и требовалось проверить.

Ответ :

(Переход на главную страницу)

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com

www.mathprofi.ru

Дискретные случайные величины

Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате каждого испытания принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ По своему типу случайные величины могут быть дискретными и непрерывными .

Дискретная случайная величина - это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать.

Пример 1 . Приведем примеры дискретных случайных величин:

а) число попаданий в мишень при $n$ выстрелах, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) число выпавших гербов при подкидывании монеты, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений).

г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений).

1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Дискретная случайная величина $X$ может принимать значения $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятностями $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Соответствие между этими значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины . Как правило, это соответствие задается с помощью таблицы, в первой строке которой указывают значения $x_1,\dots ,\ x_n$, а во второй строке соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end $

Пример 2 . Пусть случайная величина $X$ - число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика. Такая случайная величина $X$ может принимать следующие значения $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятности всех этих значений равны $1/6$. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины $X$:

$\begin
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end $

Замечание . Поскольку в законе распределения дискретной случайной величины $X$ события $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуют полную группу событий, то в сумме вероятности должны быть равны единице, то есть $\sum

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины задает ее «центральное» значение. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений $x_1,\dots ,\ x_n$ на соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$, то есть: $M\left(X\right)=\sum^n_$. В англоязычной литературе используют другое обозначение $E\left(X\right)$.

Свойства математического ожидания $M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины $X$.
2. Математическое ожидание от константы равно самой константе, т.е. $M\left(C\right)=C$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Пример 3 . Найдем математическое ожидание случайной величины $X$ из примера $2$.

Можем заметить, что $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим ($1$) и наибольшим ($6$) значениями случайной величины $X$.

Пример 4 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=2$. Найти математическое ожидание случайной величины $3X+5$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2+5=11$.

Пример 5 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=4$. Найти математическое ожидание случайной величины $2X-9$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4-9=-1$.

3. Дисперсия дискретной случайной величины.

Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе - только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия.

Дисперсия дискретной случайной величины $X$ равна:

В англоязычной литературе используются обозначения $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Очень часто дисперсию $D\left(X\right)$ вычисляют по формуле $D\left(X\right)=\sum^n_—^2$.

Свойства дисперсии $D\left(X\right)$:

1. Дисперсия всегда больше или равна нулю, т.е. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Дисперсия от константы равна нулю, т.е. $D\left(C\right)=0$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии при условии возведения его в квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Пример 6 . Вычислим дисперсию случайной величины $X$ из примера $2$.

Пример 7 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=2$. Найти дисперсию случайной величины $4X+1$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\left(X\right)=16\cdot 2=32$.

Пример 8 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=3$. Найти дисперсию случайной величины $3-2X$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\left(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. Функция распределения дискретной случайной величины.

Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины - функция распределения.

Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$.

График функции распределения $F\left(x\right)$:

Основные законы распределения

1.Биномиальный закон распределения.

Биномиальный закон распределения описывает вероятность наступления события А m раз в n независимых испытаниях, при условии, что вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна.

Например, отдел продаж магазина бытовой техники в среднем получает один заказ на покупку телевизоров из 10 звонков. Составить закон распределения вероятностей на покупку m телевизоров. Построить полигон распределения вероятностей.

В таблице m — число заказов, полученных компанией на покупку телевизора. С n m — число сочетаний m телевизоров по n, p — вероятность наступления события А, т.е. заказа телевизора, q — вероятность не наступления события А, т.е. не заказа телевизора, P m,n — вероятность заказа m телевизоров из n. На рисунке 1 изображен полигон распределения вероятностей.

2.Геометрическое распределение.

Геометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:

P m — вероятность наступления события А в испытание под номером m.
р — вероятность наступления события А в одном испытании.
q = 1 — p

Пример. В компанию по ремонту бытовой техники поступила партия из 10 запасных блоков для стиральных машин. Бывают случаи, что в партии оказывается 1 блок бракованный. Проводится проверка до обнаружения бракованного блока. Необходимо составить закон распределения числа проверенных блоков. Вероятность того, что блок может оказаться бракованным равна 0,1. Построить полигон распределения вероятностей.

Из таблицы видно, что с увеличением числа m, вероятность того, что будет обнаружен бракованный блок, снижается. Последняя строчка (m=10) объединяет две вероятности: 1 — что десятый блок оказался неисправным — 0,038742049 , 2 — что все проверяемые блоки оказались исправными — 0,34867844. Так как вероятность того, что блок окажется неисправным относительно низкая (р=0,1), то вероятность последнего события P m (10 проверенных блоков) относительно высокая. Рис.2.

3.Гипергеометрическое распределение.

Гипергеометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:

Например, составить закон распределения 7-ми угаданных чисел из 49. В данном примере всего чисел N=49, изъяли n=7 чисел, M — всего чисел, которые обладают заданным свойством, т.е. правильно угаданных чисел, m — число правильно угаданных чисел среди изъятых.

Из таблицы видно, что вероятность угадывания одного числа m=1 выше, чем при m=0. Однако затем вероятность начинает быстро снижаться. Таким образом, вероятность угадывания 4-х чисел уже составляет менее 0,005, а 5-ти ничтожно мала.

4.Закон распределения Пуассона.

Случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если закон ее распределения имеет вид:

Np = const
n — число испытаний, стремящиеся к бесконечности
p — вероятность наступления события, стремящаяся к нулю
m — число появлений события А

Например, в среднем за день в компанию по продаже телевизоров поступает около 100 звонков. Вероятность заказа телевизора марки А равна 0,08; B — 0,06 и C — 0,04. Составить закон распределения заказов на покупку телевизоров марок А,В и С. Построить полигон распределения вероятностей.

Из условия имеем: m=100, ? 1 =8, ? 2 =6, ? 3 =4 (?10)

(таблица дана не полностью)

Если n достаточно большое и стремится к бесконечности, а значение p стремится к нулю, так что произведение np стремится к постоянному числу, то данный закон является приближением к биномиальному закону распределения. Из графика видно, что чем больше вероятность р, тем ближе кривая расположена к оси m, т.е. более пологая. (Рис.4)

Необходимо отметить, что биномиальный, геометрический, гипергеометрический и закон распределения Пуассона выражают распределение вероятностей дискретной случайной величины.

5.Равномерный закон распределения.

Если плотность вероятности?(х) есть величина постоянная на определенном промежутке , то закон распределения называется равномерным. На рис.5 изображены графики функции распределения вероятностей и плотность вероятности равномерного закона распределения.

6.Нормальный закон распределения (закон Гаусса).

Среди законов распределения непрерывных случайных величин наиболее распрастраненным является нормальный закон распределения. Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, если ее плотность вероятности имеет вид:

где
а — математическое ожидание случайной величины
? — среднее квадратическое отклонение

График плотности вероятности случайной величины, имеющей нормальный закон распределения, симметричен относительно прямой х=а, т.е х равному математическому ожиданию. Таким образом, если х=а, то кривая имеет максимум равный:

При изменении величины математического ожидания кривая будет смещаться вдоль оси Ох. На графике (Рис.6) видно, что при х=3 кривая имеет максимум, т.к. математическое ожидание равно 3. Если математическое ожидание примет другое значение, например а=6, то кривая будет иметь максимум при х=6. Говоря о среднем квадратическом отклонении, как можно увидеть из графика, чем больше среднее квадратическое отклонение, тем меньше максимальное значение плотности вероятности случайной величины.

Функция, которая выражает распределение случайной величины на интервале (-?,х), и имеющая нормальный закон распределения, выражается через функцию Лапласа по следующей формуле:

Т.е. вероятность случайной величины Х состоит из двух частей: вероятности где x принимает значения от минус бесконечности до а, равная 0,5 и вторая часть — от а до х. (Рис.7)

Учимся вместе

Полезные материалы для студентов, дипломные и курсовые работы на заказ

Урок: закон распределения дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, графически и аналитически.

Что такое случайна величина разобрано в этом уроке.

При табличном способе задания первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая их вероятности, то есть

Такую величину называют рядом распределения дискретной случайной величины .

Х=х1, Х=х2, Х=хn образуют полную группу, так как в одном испытании случайная величина примет одно и только одно возможное значение. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице, то есть p1 + p2 + pn = 1 или

Если множество значений Х бесконечно, тоПример 1. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 1000 рублей и 10 по 100 рублей. Найти закон распределения случайной величины Х - стоимость возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Искомый закон распределения имеет вид:

Контроль; 0,01+0,1+0,89=1.
При графическом способе задания закона распределения на координатной плоскости строят точки (Xi:Pi), а затем соединяют их отрезками прямой. Полученную ломаную линию называют многоугольником распределения. Для примера 1 многоугольник распределения изображен на рисунке 1.

При аналитическом способе задания закона распределения указывают формулу, связывающую вероятности случайной величины с ее возможными значениями.

Примеры дискретных распределений

Биномиальное распределение

Пусть производится n испытаний, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью p , следовательно, не наступает с постоянной вероятностью q = 1- p . Рассмотрим случайную величину X - число появления события A в этих n испытаниях. Возможными значениями X являются x1 = 0 , x2 = 1,…, xn+1 = n . Вероятность этих возможных

Законом распределения дискретной случайной величины называют Windows XP Word 2003 Excel 2003 Законы распределения дискретных случайных величин Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и […]

Понятие форм наследования 2.1. Понятие наследования по завещанию В настоящее время отечественный законодатель не дал легального определения завещания. Отсутствие или недостаточно точное определение этого понятия свойственно не только русскому праву, но и праву других государств, поэтому понятие завещания мы должны […]

Задачи на наследование резус фактора вероятность Rh+ и Пример 2.Генотип мужаrhrhJ A J O (IIгруппа кровиRh–), жены –RhrhJ B J B (IIIгруппа кровиRh+). Какова вероятность рождения резус-положительного ребенка сIVгруппой крови? вероятность Rh+J A J B – ? rhrh J B J O rhrh J A J B 43. Резус-положительная женщина со […]

Пенсию инвалидам второй группы в 2018 году в РФ Присвоение любой формы инвалидности в Российской Федерации происходит только по медико-социальным показателям. Инвалидность второй категории назначается людям, которые считаются нетрудоспособными, но не нуждаются в постоянном уходе. Такие граждане вправе получать […]

Организация ООО "КРАЕВОЙ ЦЕНТР СУДЕБНЫХ ЭКСПЕРТИЗ" Состоит в реестре субъектов малого и среднего предпринимательства: с 01.08.2016 как микропредприятие Юридический адрес: 350051, Краснодарский край, Краснодар г, ул Кольцевая, д 17/4 ОКФС: 16 - Частная собственность ОКОГУ: 4210014 - Организации, учрежденные […]

Доказательство Виды доказательства Спор Алгоритм логического анализа аргументации 1. Выделить в тексте тезис 2. Выделить аргументы, установить их достоверность 3. Выделить форму аргументации, установить строгость логической связи аргументов и тезиса 4. Дать заключение о характере аргументации, ее […]

Законодательная база Российской Федерации Бесплатная консультация Федеральное законодательство Главная ПОСТАНОВЛЕНИЕ Правительства РФ от 17.11.2001 N 795 "ОБ УТВЕРЖДЕНИИ ПРАВИЛ ОКАЗАНИЯ УСЛУГ АВТОСТОЯНОК" Документ в электронном виде ФАПСИ, НТЦ "Система" "Собрание законодательства РФ", N 48, 26.11.2001, […]

Отсрочка отбывания наказания Применение отсрочки отбывания наказания в отношении беременных женщин и женщин, имеющих малолетних детей, осуществляется с 1992 г. На протяжении последних лет последовательно был расширен круг осужденных женщин, к которым отсрочка отбывания наказания может быть применена. Так, Закон от 12 […]

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для построения таблицы распределения случайной величины X – числа произведенных опытов и вычисления всех характеристик ряда: математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения. Отчет с решением оформляется в формате Word .

Пример 1 . В урне белых и черных шара. Шары наудачу достают из урны без возвращения до тех пор, пока не появится белый шар. Как только это произойдет, процесс прекращается.
Данный тип заданий относится к задаче построения геометрического распределения .

Пример 2 . Два Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна , вторым – . Составить закон распределения случайной величины Х – числа попаданий в мишень.

Пример 2a . Стрелок делает по два три четыре выстрела. Вероятность попадания при соответствующем выстреле равна , . При первом промахе стрелок в дальнейших состязаниях не участвует. Составить закон распределения случайной величины Х - число попаданий в мишень.

Пример 3 . В партии из деталей бракованных стандартных. Контролер наудачу достает детали. Составить закон распределения случайной величины Х – числа бракованных годных деталей в выборке.
Аналогичное задание : В корзине m красных и n синих шаров. Наудачу вынимают k шаров. Составить закон распределения ДСВ X – появление синих шаров.
см. другие примеры решений .

Пример 4 . Вероятность появления события в одном испытании равна . Производится испытаний. Составить закон распределения случайной величины Х – числа появлений события.
Аналогичные задания для этого вида распределения :
1. Составить закон распределения случайной величины Х числа попаданий при четырех выстрелах, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.8 .
2. Монету подбрасывают 7 раз. Найти математическое ожидание и дисперсию числа появлений герба. Составить таблицу распределения Х – числа появлений герба.

Пример №1 . Бросаются три монеты. Вероятность выпадения герба при одном бросании равна 0.5. Составьте закон распределения случайной величины X - числа выпавших гербов.
Решение.
Вероятность того, что не выпало ни одного герба: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Вероятность того, что выпало три герба: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125

Закон распределения случайной величины X:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Проверка: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Пример №2 . Вероятность попадания в мишень одного стрелка при одном выстреле для первого стрелка равна 0.8, для второго стрелка – 0.85. Стрелки произвели по одному выстрелу в мишень. Считая попадание в цель для отдельных стрелков событиями независимыми, найти вероятность события А – ровно одно попадание в цель.
Решение.
Рассмотрим событие A - одно попадание в цель. Возможные варианты наступления этого события следующие:

1. Попал первый стрелок, второй стрелок промахнулся: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
2. Первый стрелок промахнулся, второй стрелок попал в мишень: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. Первый и второй стрелки независимо друг от друга попали в мишень: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68

Тогда вероятность события А – ровно одно попадание в цель, будет равна: P(A) = 0.12+0.17+0.68 = 0.97

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Случайные величины, их классификация и способы описания.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, но какое именно заранее не известно. Для случайной величины, таким образом, можно указать только значения, одно из которых она обязательно примет в результате опыта. Эти значения в дальнейшем будем называть возможными значениями случайной величины. Так как случайная величина количественно характеризует случайный результат опыта, она может рассматриваться как количественная характеристика случайного события.

Случайные величины обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, например, X..Y..Z, а их возможные значения- соответствующими малыми буквами.

Различают три типа случайных величин:

Дискретные; Непрерывные; Смешанные.

Дискретной называется такая случайная величина, число возможных значений которой образует счетное множество. В свою очередь, счетным называется множество, элементы которого можно пронумеровать. Слово «дискретный» происходит от латинского discretus , что означает «прерывистый, состоящий из отдельных частей» .

Пример 1. Дискретной случайной величиной является число бракованных деталей Х в партии из nтук. Действительно, возможными значениями этой случайной величины является ряд целых чисел от 0 до n.

Пример 2. Дискретной случайной величиной является число выстрелов до первого попадания в цель. Здесь, как и в примере 1, возможные значения можно пронумеровать, хотя в предельном случае возможное значение является бесконечно большим числом.

Непрерывной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал числовой оси, называемый иногда интервалом существования этой случайной величины. Таким образом, на любом конечном интервале существования число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно велико.

Пример 3. Непрерывной случайной величиной является расход электроэнергии на предприятии за месяц.

Пример 4. Непрерывной случайной величиной является ошибка измерения высоты с помощью высотомера. Пусть из принципа работы высотомера известно, что ошибка лежит в пределах от 0 до 2 м. Поэтому интервалом существования данной случайной величины является интервал от 0 до 2 м.

Закон распределения случайных величин.

Случайная величина считается полностью заданной, если на числовой оси указаны ее возможные значения и установлен закон распределения.

Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.

Про случайную величину говорят, что она распределена по данному закону, или подчинена данному закону распределения. В качестве законов распределения используются ряд вероятностей, функция распределения, плотность вероятности, характеристическая функция.

Закон распределения дает полное вероятное описание случайной величины. По закону распределения можно судить до опыта о том какие возможные значения случайной величины будут появляться чаще, а какие – реже.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица (матрица), в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины. 1

События Х 1 , Х 2 ,..., Х n , состоящие в том, что в результате испытания случайная величина X примет соответственно значения х 1 , x 2 ,...х n являются несовместными и единственно возможными (ибо в таблице перечислены все возможные значения случайной величины), т.е. образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Таким образом, для любой дискретной случайной величины

(Эта единица как-то распределена между значениями случайной величины, отсюда и термин «распределение»).

Ряд распределения может быть изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие их вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей (рис. 1).

Пример В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден. ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден. ед. Всего продается 1000 билетов по 7 ден. ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Решение . Возможные значения случайной величины X - чистого выигрыша на один билет - равны 0-7 = -7 ден. ед. (если билет не выиграл), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. ед. (если на билет выпал выигрыш соответственно видеомагнитофона, телевизора или автомобиля). Учитывая, что из 1000 билетов число невыигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5, 4 и 1, и используя классическое определение вероятности, получим.

Примеры решения задач на тему «Случайные величины».

Задача 1 . В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывался один выигрыш в 50 у.е. и десять выигрышей по 10 у.е. Найти закон распределения величины X – стоимости возможного выигрыша.

Решение. Возможные значения величины X: x 1 = 0; x 2 = 10 и x 3 = 50. Так как «пустых» билетов – 89, то p 1 = 0,89, вероятность выигрыша 10 у.е. (10 билетов) – p 2 = 0,10 и для выигрыша 50 у.е. – p 3 = 0,01. Таким образом:

	0,89	0,10	0,01

Легко проконтролировать: .

Задача 2. Вероятность того, что покупатель ознакомился заранее с рекламой товара равна 0,6 (р=0,6 ). Осуществляется выборочный контроль качества рекламы путем опроса покупателей до первого, изучившего рекламу заранее. Составить ряд распределения количества опрошенных покупателей.

Решение. Согласно условию задачи р = 0,6. Откуда: q=1 -p = 0,4. Подставив данные значения, получим: и построим ряд распределения:

p i		0,24

Задача 3. Компьютер состоит из трех независимо работающих элементов: системного блока, монитора и клавиатуры. При однократном резком повышении напряжения вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Исходя из распределения Бернулли составить закон распределения числа отказавших элементов при скачке напряжения в сети.

Решение. Рассмотрим распределение Бернулли (или биномиальное): вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно k раз: , или:

	qn					pn

В ернёмся к задаче.

Возможные значения величины X (число отказов):

x 0 =0 – ни один из элементов не отказал;

x 1 =1 – отказ одного элемента;

x 2 =2 – отказ двух элементов;

x 3 =3 – отказ всех элементов.

Так как, по условию, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Используя формулу Бернулли, получим

, ,

, .

Контроль: .

Следовательно, искомый закон распределения:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Задача 4 . Произведено 5000 патронов. Вероятность того, что один патрон бракованный . Какова вероятность того, что во всей партии будет ровно 3 бракованных патрона?

Решение. Применим распределение Пуассона : это распределение используется для определения вероятности того, что при очень большом

количестве испытаний (массовые испытания), в каждом из которых вероятность события A очень мала, событие A наступитk раз: , где .

Здесь n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Находим , тогда искомая вероятность: .

Задача 5 . При стрельбе до первого попадания с вероятностью попадания p = 0,6 при выстреле надо найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. Применим геометрическое распределение: пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A имеет вероятность появления p (и непоявления q = 1 – p). Испытания заканчиваются, как только произойдет событие A.

При таких условиях вероятность того, что событие A произойдет на k-ом испытании, определяется по формуле: . Здесь p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Следовательно, .

Задача 6 . Пусть задан закон распределения случайной величины X:

Найти математическое ожидание.

Решение. .

Заметим, что вероятностный смысл математического ожидания – это среднее значение случайной величины.

Задача 7 . Найти дисперсию случайной величины X со следующим законом распределения:

Решение. Здесь .

Закон распределения квадрата величины X 2 :

X2

Искомая дисперсия: .

Дисперсия характеризует меру отклонения (рассеяния) случайной величины от её математического ожидания.

Задача 8 . Пусть случайная величина задается распределением:

			10м

Найти её числовые характеристики.

Решение: м, м 2 ,

М 2 , м.

Про случайную величину X можно сказать либо – ее математическое ожидание 6,4 м с дисперсией 13,04 м 2 , либо – ее математическое ожидание 6,4 м с отклонением м. Вторая формулировка, очевидно, нагляднее.

Задача 9. Случайная величина X задана функцией распределения:
.

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале .

Решение. Вероятность того, что X примет значение из заданного интервала, равно приращению интегральной функции в этом интервале, т.е. . В нашем случае и , поэтому

.

Задача 10. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

Найти функцию распределения F (x ) и построить ее график.

Решение. Так как функция распределения,

для , то

при ;

при ;

при ;

при ;

Соответствующий график:

Задача 11. Непрерывная случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения: .

Найти вероятность попадания X в интервал

Решение. Заметим, что это частный случай показательного закона распределения.

Воспользуемся формулой: .

Задача 12. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

	–5
	X 2 : X 2 . , где – функция Лапласа. Значения этой функции находятся с помощью таблицы. В нашем случае: . По таблице находим: , следовательно:

Как известно, случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а их значения – соответствующими строчными буквами (x, y, z). Случайные величины делятся на прерывные (дискретные) и непрерывные.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая лишь конечное или бесконечное (счетное) множество значений с определенными ненулевыми вероятностями.

Законом распределения дискретной случайной величины называется функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан одним из следующих способов.

1 . Закон распределения может быть задан таблицей:

где λ>0, k = 0, 1, 2, … .

в) с помощью функции распределения F(x) , определяющей для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X < x).

Свойства функции F(x)

3 . Закон распределения может быть задан графически – многоугольником (полигоном) распределения (смотри задачу 3).

Отметим, что для решения некоторых задач не обязательно знать закон распределения. В некоторых случаях достаточно знать одно или несколько чисел, отражающих наиболее важные особенности закона распределения. Это может быть число, имеющее смысл «среднего значения» случайной величины, или же число, показывающее средний размер отклонения случайной величины от своего среднего значения. Числа такого рода называют числовыми характеристиками случайной величины.

Основные числовые характеристики дискретной случайной величины :

• Mатематическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины M(X)=Σ x i p i .
  Для биномиального распределения M(X)=np, для распределения Пуассона M(X)=λ
• Дисперсия дискретной случайной величины D(X)= M 2 или D(X) = M(X 2)− 2 . Разность X–M(X) называют отклонением случайной величины от ее математического ожидания.
  Для биномиального распределения D(X)=npq, для распределения Пуассона D(X)=λ
• Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) σ(X)=√D(X) .

Примеры решения задач по теме «Закон распределения дискретной случайной величины»

Задача 1.

Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 50 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

Решение. По условию задачи возможны следующие значения случайной величины X: 0, 10, 50, 100 и 500.

Число билетов без выигрыша равно 1000 – (5+10+20+50) = 915, тогда P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Аналогично находим все другие вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=500) = 5/1000=0,005. Полученный закон представим в виде таблицы:

Найдем математическое ожидание величины Х: М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Задача 3.

Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

Решение. 1. Дискретная случайная величина X={число отказавших элементов в одном опыте} имеет следующие возможные значения: х 1 =0 (ни один из элементов устройства не отказал), х 2 =1 (отказал один элемент), х 3 =2 (отказало два элемента) и х 4 =3 (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы друг от друга, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли . Учитывая, что, по условию, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, определим вероятности значений:
P 3 (0) = С 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = С 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = С 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = С 3 3 p 3 q 3-3 = р 3 =0,1 3 = 0,001;
Проверка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Таким образом, искомый биномиальный закон распределения Х имеет вид:

По оси абсцисс откладываем возможные значения х i , а по оси ординат – соответствующие им вероятности р i . Построим точки М 1 (0; 0,729), М 2 (1; 0,243), М 3 (2; 0,027), М 4 (3; 0,001). Соединив эти точки отрезками прямых, получаем искомый многоугольник распределения.

3. Найдем функцию распределения F(x) = Р(Х

Для x ≤ 0 имеем F(x) = Р(Х<0) = 0;
для 0 < x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
для 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
для 2 < x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
для х > 3 будет F(x) = 1, т.к. событие достоверно.

График функции F(x)

4. Для биномиального распределения Х:
- математическое ожидание М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- среднее квадратическое отклонение σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.