Чтобы в материале было легче ориентироваться, добавлю содержание данной темы:

Введение. Множества и выборки.

В этой теме рассмотрим основные понятия комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения. Выясним их суть и формулы, по которым можно найти их количество.

Для работы нам понадобятся кое-какие вспомогательные сведения. Начнём с такого фундаментального математического понятия как множество. Подробно понятие множества было раскрыто в теме "Понятие множества. Способы задания множеств" .

Очень краткий рассказ про множества : показать\скрыть

Если вкратце: множеством именуют некую совокупность объектов. Записывают множества в фигурных скобках. Порядок записи элементов роли не играет; повторения элементов не допускаются. Например, множество цифр числа 11115555999 будет таким: $\{1,5,9 \}$. Множество согласных букв в слове "тигрёнок" таково: $\{т, г, р, н, к\}$. Запись $5\in A$ означает, что элемент 5 принадлежит множеству $A=\{1,5,9 \}$. Количество элементов в конечном множестве называют мощностью этого множества и обозначают $|A|$. Например, для множества $A=\{1,5,9 \}$, содержащего 3 элемента, имеем: $|A|=3$.

Рассмотрим некое непустое конечное множество $U$, мощность которого равна $n$, $|U|=n$ (т.е. в множестве $U$ имеется $n$ элементов). Введём такое понятие, как выборка (некоторые авторы именуют её кортежем). Под выборкой объема $k$ из $n$ элементов (сокращённо $(n,k)$-выборкой) будем понимать набор элементов $(a_1, a_2,\ldots, a_k)$, где $a_i\in U$. Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов. Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком элементов, являются различными. Если порядок следования элементов выборки не является существенным, то выборку именуют неупорядоченной.

Заметьте, что в определении выборки ничего не сказано про повторения элементов. В отличие от элементов множеств, элементы выборки могут повторяться.

Для примера рассмотрим множество $U=\{a,b,c,d,e\}$. Множество $U$ содержит 5 элементов, т.е. $|U|=5$. Выборка без повторений может быть такой: $(a,b,c)$. Данная выборка содержит 3 элемента, т.е. объём этой выборки равен 3. Иными словами, это $(5,3)$-выборка.

Выборка с повторениями может быть такой: $(a,a,a,a,a,c,c,d)$. Она содержит 8 элементов, т.е. объём её равен 8. Иными словами, это $(5,8)$-выборка.

Рассмотрим ещё две $(5,3)$-выборки: $(a,b,b)$ и $(b,a,b)$. Если мы полагаем наши выборки неупорядоченными, то выборка $(a,b,b)$ равна выборке $(b,a,b)$, т.е. $(a,b,b)=(b,a,b)$. Если мы полагаем наши выборки упорядоченными, то $(a,b,b)\neq(b,a,b)$.

Рассмотрим ещё один пример, немного менее абстрактный:) Предположим, в корзине лежат шесть конфет, причём все они различны. Если первой конфете поставить в соответствие цифру 1, второй конфете - цифру 2 и так далее, то с конфетами в корзине можно сопоставить такое множество: $U=\{1,2,3,4,5,6\}$. Представьте, что мы наугад запускаем руку в корзинку с целью вытащить три конфеты. Вытащенные конфеты - это и есть выборка. Так как мы вытаскиваем 3 конфеты из 6, то получаем (6,3)-выборку. Порядок расположения конфет в ладони совершенно несущественен, поэтому эта выборка является неупорядоченной. Ну, и так как все конфеты различны, то выборка без повторений. Итак, в данной ситуации говорим о неупорядоченной (6,3)-выборке без повторений.

Теперь подойдём с иной стороны. Представим себе, что мы находимся на фабрике по производству конфет, и на этой фабрике производятся конфеты четырёх сортов. Множество $U$ в этой ситуации таково: $U=\{1,2,3,4 \}$ (каждая цифра отвечает за свой сорт конфет). Теперь вообразим, что все конфеты ссыпаются в единый жёлоб, около которого мы и стоим. И, подставив ладони, из этого потока отбираем 20 конфет. Конфеты в горсти – это и есть выборка. Играет ли роль порядок расположения конфет в горсти? Естественно, нет, поэтому выборка неупорядоченная. Всего 4 сорта конфет, а мы отбираем двадцать штук из общего потока - повторения сортов неизбежны. При этом выборки могут быть самыми различными: у нас даже могут оказаться все конфеты одного сорта. Следовательно, в этой ситуации мы имеем дело с неупорядоченной (4,20)-выборкой с повторениями.

Рассмотрим ещё пару примеров. Пусть на кубиках написаны различные 7 букв: к, о, н, ф, е, т, а. Эти буквы образуют множество $U=\{к,о,н,ф,е,т,а\}$. Допустим, из данных кубиков мы хотим составить "слова" из 5 букв. Буквы этих слов (к примеру, «конфе», «тенко» и так далее) образуют (7,5)-выборки: $(к,о,н,ф,е)$, $(т,е,н,к,о)$ и т.д. Очевидно, что порядок следования букв в такой выборке важен. Например, слова «нокфт» и «кфтон» различны (хотя состоят из одних и тех же букв), ибо в них не совпадает порядок букв. Повторений букв в таких «словах» нет, ибо в наличии только семь кубиков. Итак, набор букв каждого слова представляет собой упорядоченную (7,5)-выборку без повторений.

Еще один пример: мы составляем всевозможные восьмизначные числа из четырёх цифр 1, 5, 7, 8. Например, 11111111, 15518877, 88881111 и так далее. Множество $U$ таково: $U=\{1,5,7,8\}$. Цифры каждого составленного числа образуют (4,8)-выборку. Порядок следования цифр в числе важен, т.е. выборка упорядоченная. Повторения допускаются, поэтому здесь мы имеем дело с упорядоченной (4,8)-выборкой с повторениями.

Размещения без повторений из $n$ элементов по $k$

Размещение без повторений из $n$ элементов по $k$ - упорядоченная $(n,k)$-выборка без повторений.

Так как элементы в рассматриваемой выборке повторяться не могут, то мы не можем отобрать в выборку больше элементов, чем есть в исходном множестве. Следовательно, для таких выборок верно неравенство: $n≥ k$. Количество размещений без повторений из $n$ элементов по $k$ определяется следующей формулой:

\begin{equation}A_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!} \end{equation}

Что обозначает знак "!"? : показать\скрыть

Запись "n!" (читается "эн факториал") обозначает произведение всех чисел от 1 до n, т.е.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

По определению полагается, что $0!=1!=1$. Для примера найдём 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Пример №1

Алфавит состоит из множества символов $E=\{+,*,0,1,f\}$. Определим количество таких трёхсимвольных слов в этом алфавите, которые не содержат повторяющихся букв.

Под трёхсимвольными словами будем понимать выражения вида "+*0" или "0f1". В множестве $E$ пять элементов, поэтому буквы трехсимвольных слов образуют (5,3)-выборки. Первый вопрос: эти выборки упорядочены или нет? Слова, которые отличаются лишь порядком букв, полагаются различными, поэтому порядок элементов в выборке важен. Значит, выборка является упорядоченной. Второй вопрос: допускаются повторения или нет? Ответ на этот вопрос даёт условие: слова не должны содержать повторяющихся букв. Подводим итоги: буквы каждого слова, удовлетворяющего условию задачи, образуют упорядоченную (5,3)-выборку без повторений. Иными словами, буквы каждого слова образуют размещение без повторений из 5 элементов по 3. Вот примеры таких размещений:

$$ (+,*,f), \; (*,+,f), \; (1,+,0) $$

Нас же интересует общее количество этих размещений. Согласно формуле (1) количество размещений без повторений из 5 элементов по 3 будет таким:

$$ A_{5}^{3}=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=60. $$

Т.е. можно составить 60 трёхсимвольных слов, буквы которых не будут повторяться.

Ответ : 60.

Размещения с повторениями из $n$ элементов по $k$

Размещение с повторениями из $n$ элементов по $k$ - упорядоченная $(n,k)$-выборка с повторениями.

Количество размещений с повторениями из $n$ элементов по $k$ определяется следующей формулой:

\begin{equation}\bar{A}_{n}^{k}=n^k \end{equation}

Пример №2

Сколько пятизначных чисел можно составить из множества цифр $\{5,7,2\}$?

Из данного набора цифр можно составить пятизначные числа 55555, 75222 и так далее. Цифры каждого такого числа образуют (3,5)-выборку: $(5,5,5,5,5)$, $(7,5,2,2,2)$. Зададимся вопросом: что это за выборки? Во-первых, цифры в числах могут повторяться, поэтому мы имеем дело с выборками с повторениями. Во-вторых, порядок расположения цифр в числе важен. Например, 27755 и 77255 - разные числа. Следовательно, мы имеем дело с упорядоченными (3,5)-выборками с повторениями. Общее количество таких выборок (т.е. общее количество искомых пятизначных чисел) найдём с помощью формулы (2):

$$ \bar{A}_{3}^{5}=3^5=243. $$

Следовательно, из заданных цифр можно составить 243 пятизначных числа.

Ответ : 243.

Перестановки без повторений из $n$ элементов

Перестановка без повторений из $n$ элементов - упорядоченная $(n,n)$-выборка без повторений.

По сути, перестановка без повторений есть частный случай размещения без повторений, когда объём выборки равен мощности исходного множества. Количество перестановок без повторений из $n$ элементов определяется следующей формулой:

\begin{equation}P_{n}=n! \end{equation}

Эту формулу, кстати, легко получить, если учесть, что $P_n=A_{n}^{n}$. Тогда получим:

$$ P_n=A_{n}^{n}=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=\frac{n!}{1}=n! $$

Пример №3

В морозилке лежат пять порций мороженого от различных фирм. Сколькими способами можно выбрать порядок их съедения?

Пусть первому мороженому соответствует цифра 1, второму - цифра 2 и так далее. Мы получим множество $U=\{1,2,3,4,5\}$, которое будет представлять содержимое морозилки. Порядок съедения может быть таким: $(2,1,3,5,4)$ или таким: $(5,4,3,1,2)$. Каждый подобный набор есть (5,5)-выборка. Она будет упорядоченной и без повторений. Иными словами, каждая такая выборка есть перестановка из 5 элементов исходного множества. Согласно формуле (3) общее количество этих перестановок таково:

$$ P_5=5!=120. $$

Следовательно, существует 120 порядков выбора очередности съедения.

Ответ : 120.

Перестановки с повторениями

Перестановка с повторениями – упорядоченная $(n,k)$-выборка с повторениями, в которой элемент $a_1$ повторяется $k_1$ раз, $a_2$ повторяется $k_2$ раза так далее, до последнего элемента $a_r$, который повторяется $k_r$ раз. При этом $k_1+k_2+\ldots+k_r=k$.

Общее количество перестановок с повторениями определяется формулой:

\begin{equation}P_{k}(k_1,k_2,\ldots,k_r)=\frac{k!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \ldots \cdot k_r!} \end{equation}

Пример №4

Слова составляются на основе алфавита $U=\{a,b,d\}$. Сколько различных слов из семи символов может быть составлено, если в этих словах буква "a" должна повторяться 2 раза; буква "b" - 1 раз, а буква "d" - 4 раза?

Вот примеры искомых слов: "aabdddd", "daddabd" и так далее. Буквы каждого слова образуют (3,7)-выборку с повторениями: $(a,a,b,d,d,d,d)$, $(d,a,d,d,a,b,d)$ и т.д. Каждая такая выборка состоит из двух элементов "a", одного элемента "b" и четырёх элементов "d". Иными словами, $k_1=2$, $k_2=1$, $k_3=4$. Общее количество повторений всех символов, естественно, равно объёму выборки, т.е. $k=k_1+k_2+k_3=7$. Подставляя эти данные в формулу (4), будем иметь:

$$ P_7(2,1,4)=\frac{7!}{2!\cdot 1!\cdot 4!}=105. $$

Следовательно, общее количество искомых слов равно 105.

Ответ : 105.

Сочетания без повторений из $n$ элементов по $k$

Сочетание без повторений из $n$ элементов по $k$ – неупорядоченная $(n,k)$-выборка без повторений.

Общее количество сочетаний без повторений из $n$ элементов по $k$ определяется формулой:

\begin{equation}C_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!} \end{equation}

Пример №5

В корзине размещены карточки, на которых написаны целые числа от 1 до 10. Из корзины вынимают 4 карточки и суммируют числа, написанные на них. Сколько различных наборов карточек можно вытащить из корзины?

Итак, в данной задаче исходное множество таково: $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. Из этого множества мы выбираем четыре элемента (т.е., четыре карточки из корзины). Номера вытащенных элементов образуют (10,4)-выборку. Повторения в этой выборке не допускаются, так как номера всех карточек различны. Вопрос вот в чём: порядок выбора карточек играет роль или нет? Т.е., к примеру, равны ли выборки $(1,2,7,10)$ и $(10,2,1,7)$ или не равны? Тут нужно обратиться к условию задачи. Карточки вынимаются для того, чтобы потом найти сумму элементов. А это значит, что порядок карточек не важен, так как от перемены мест слагаемых сумма не изменится. Например, выборке $(1,2,7,10)$ и выборке $(10,2,1,7)$ будет соответствовать одно и то же число $1+2+7+10=10+2+1+7=20$. Вывод: из условия задачи следует, что мы имеем дело с неупорядоченными выборками. Т.е. нам нужно найти общее количество неупорядоченных (10,4)-выборок без повторений. Иными словами, нам нужно найти количество сочетаний из 10 элементов по 4. Используем для этого формулу (5):

$$ C_{10}^{4}=\frac{10!}{(10-4)!\cdot 4!}=\frac{10!}{6!\cdot 4!}=210. $$

Следовательно, общее количество искомых наборов равно 210.

Ответ : 210.

Сочетания с повторениями из $n$ элементов по $k$

Сочетание с повторениями из $n$ элементов по $k$ – неупорядоченная $(n,k)$-выборка с повторениями.

Общее количество сочетаний с повторениями из $n$ элементов по $k$ определяется формулой:

\begin{equation}\bar{C}_{n}^{k}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!\cdot k!} \end{equation}

Пример №6

Представьте себе, что мы находимся на конфетном заводе, - прямо возле конвейера, по которому движутся конфеты четырёх сортов. Мы запускаем руки в этот поток и вытаскиваем двадцать штук. Сколько всего различных "конфетных комбинаций" может оказаться в горсти?

Если принять, что первому сорту соответствует число 1, второму сорту - число 2 и так далее, то исходное множество в нашей задаче таково: $U=\{1,2,3,4\}$. Из этого множества мы выбираем 20 элементов (т.е., те самые 20 конфет с конвейера). Пригоршня конфет образует (4,20)-выборку. Естественно, повторения сортов будут. Вопрос в том, играет роль порядок расположения элементов в выборке или нет? Из условия задачи следует, что порядок расположения элементов роли не играет. Нам нет разницы, будут ли в горсти располагаться сначала 15 леденцов, а потом 4 шоколадных конфеты, или сначала 4 шоколадных конфеты, а уж потом 15 леденцов. Итак, мы имеем дело с неупорядоченной (4,20) выборкой с повторениями. Чтобы найти общее количество этих выборок используем формулу (6):

$$ \bar{C}_{4}^{20}=\frac{(4+20-1)!}{(4-1)!\cdot 20!}=\frac{23!}{3!\cdot 20!}=1771. $$

Следовательно, общее количество искомых комбинаций равно 1771.

Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения.

“Число, положение и комбинация – три
взаимно пересекающиеся, но различные
сферы мысли, к которым можно
отнести все математические идеи”.
Джозеф Сильвестр (1844 г.)

Цели занятия.

Образовательные:

• познакомить студентов с новым разделом математики: "Комбинаторика", с его историей, основными понятиями и задачами, использованием в практических целях и в жизни человека;
• способствовать созданию учебного проекта как показатель качественного изучения темы занятия.

Развивающие:

• развивать аналитические способности, логическое мышление,
• индивидуальные способности каждого студента, создавая комфортную психологическую обстановку для каждого студента при обучении и создании проекта.

Воспитывающая:

• формировать активность личности студента, умение работать в группе, отвечать за свои поступки.

Оборудование: компьютеры, проектор, экран, презентация, электронные и на бумажных носителях тесты, задачи “Судоку”, кубики Рубика, папки для ВСР (внеаудиторная самостоятельная работа), рабочие тетради, чистые ватманы, калькуляторы, цветная бумага, клей, ножницы, фломастеры.

Ход занятия

I. Организационный момент

Перекличка

Сообщение целей и задач занятия: В связи с тем, что по дисциплине “Математика” на 2 курсе специальности “Технология деревообработки” на тему “Основные понятия комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания” отводится 2 часа, а рассмотреть нужно много материала, решать задачи, создать проект, вам было выдано задание на внеаудиторную самостоятельную работу следующее: в литературе по истории математики, в энциклопедиях, в учебниках и в интернете найти материал о разделе математики, имеющем звучное название “комбинаторика”. Слайды № 1–2. Презентация

В календарно-тематическом плане по дисциплине “Математика” на 2 курсе специальности “Технология деревообработки” на тему “Основные понятия комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания” отводится 2 часа. Изучить теоретический материал, решить задачи разных видов за такой временной промежуток невозможно. Для достижения глубокого изучения материала было выдано задание на внеаудиторную самостоятельную работу: в литературе по истории математики, в энциклопедиях, в учебниках и в интернете найти материал о разделе математики, имеющем звучное название “комбинаторика”. Слайды № 1–2.

Вопросов для внеаудиторной самостоятельной работы выделено было три:

1. Определения комбинаторики.
2. Ученые – математики - первооткрыватели этого раздела.
3. Применение комбинаторики в современной жизни.

Запись даты, темы урока.

II. Работа над темой занятия

Вступление:

Из глубокой древности до современного человечества дошли сведения о том, что уже тогда люди занимались выбором объектов и расположения их в том или ином порядке и увлекались составлением различных комбинаций. Так, например, в Древнем Китае увлекались составлением квадратов, в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же (современная игра – задача “Судоку”). Такие задачи вы могли встречать в журналах и газетах. В частности, наша Мариинская газета “Вперед” довольно часто предлагает читателям такие задачи. В Древней Греции подобные задачи возникали в связи c такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты и т.д.

Комбинаторика ставится самостоятельным разделом математики, по сути – самостоятельной наукой лишь во второй половине XVII века, - в период, когда возникла теория вероятностей.

Таким образом, - комбинаторика – это самостоятельный раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторика – самостоятельная ветвь математической науки. Cлайд № 3

Термин “КОМБИНАТОРИКА” происходит от латинского слова “combina”, что в переводе на русский означает – “сочетать”, “соединять” - слайд № 4.

Как трактует это слово Большой Энциклопедический Словарь?

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются простейшие “соединения”: перестановки, размещения, сочетания. Этот раздел иначе называют “комбинаторный анализ”.

Сегодня мы будем рассматривать перестановки, размещения, сочетания, как соединения, как комбинаторные конфигурации.

Разделы комбинаторики: перечислительная, структурная, вероятностная, топологическая – слайд № 5.

Давайте вспомним известное вам из детства сказание о том, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до развилки трех дорог, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый КОМБИНАТОРИКОЙ, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую – слайд № 6.

Итак, комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Перестановки-соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их

Количество всех перестановок из n элементов обозначают

Число n при этом называется порядком перестановки – слайд № 7–10.

Произведение всех натуральных чисел от n до единицы, обозначают символом n! (Читается “эн - факториал”). Используя знак факториала, можно, например, записать:

3! = 3 2 1 = 6,

4! = 4 3 2 1 = 24,

5! = 5 4 3 2 1 = 120.

Необходимо знать, что 0!=1

Термин “перестановки” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Примеры решения задач:

Задача №1. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок обозначается Рп и оно равно п !, т.е. Рп = п !, где п ! = 1 * 2 * 3 * … п .

Решение: Р7 = 7!, где 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 =5040, значит существует 5040 способов осуществить расстановку книг.

Ответ: 5040 способов.

Задача № 2 (о квартете)

В знаменитой басне Крылова “Квартет” “Проказница мартышка, Осел, Козел да косолапый Мишка” исследовали влияние взаимного расположения музыкантов на качество исполнения.

Зададим вопрос: Сколько существует способов, чтобы рассадить четырех музыкантов?

Решение: на слайде

Размещения – соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающихся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их.

Cлайды № 11–13.

В комбинаторике размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.

В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы < 2,1,3 > и < 3,2,1 > являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть, совпадают как сочетания).

Термин “Размещение” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Примеры решения задач:

Задача № 1. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Это пример задачи на размещение без повторений.

Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет:

Ответ :151200 способов

Задача № 2. В группе ТД – 21 обучается 24 студентов. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Решение: число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно А 24 3 . По формуле находим

Ответ: 12144 способа

Сочетания-соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их .

Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений. Cлайды № 14–16.

В комбинаторике сочетанием из n по m называется набор m элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Термин “сочетание” впервые встречается у Блеза Паскаля в 1665 году.

Примеры решения задач:

Задача №1. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих кнопок – сочетание. Отсюда возможно

Ответ: 120 вариантов.

Задача № 2. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 членов, можно образовать из 10 преподавателей?

Решение: По формуле находим:

комиссий

Ответ: 120 комиссий.

Библиографическая справка – слайд № 17.

Общее у всех этих задач то, что их решением занимается отдельная область математики, называемая комбинаторикой. “Особая примета” комбинаторных задач – вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался словами: “Сколькими способами…?”. Cлайд № 18.

3. Решение задач: тексты задач с решениями в приложении 1 – начало на слайде № 19.

4. Исторические сведения о комбинаторике на слайдах № 20–21 (частично даны сведения при изучении темы, остальные данные для проекта студенты возьмут из материалов для ВСР).

5. Связи комбинаторики на слайдах № 22–31 (частично даны сведения при изучении темы, остальные данные для проекта студенты возьмут из материалов для ВСР).

6. Выдвижение гипотезы. Гипотеза – это научное предположение, выдвигаемое для объяснения каких-нибудь явлений, вообще – предположение, требующее подтверждения.

Выдвигается гипотеза: Комбинаторика интересна и имеет широкий спектр практической направленности - слайд № 32.

7. Метод проектов: три группы студентов и группа преподавателей выполняют проект

В комбинаторике изучают вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).

Рождение комбинаторики как раздела связано с трудами Б. Паскаля и П. Ферма по теории азартных игр. Большой вклад в развитие комбинаторных методов внесли Г.В. Лейбниц, Я. Бернулли и Л. Эйлер.

Французский философ, писатель, математик и физик Блез Паскаль (1623–1662) рано проявил свои выдающиеся математические способности. Круг математических интересов Паскаля был весьма разнообразен. Паскаль доказал одну
из основных теорем проективной геометрии (теорема Паскаля), сконструировал суммирующую машину (арифмометр Паскаля), дал способ вычисления биномиальных коэффициентов (треугольник Паскаля), впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции, сделал существенный шаг в развитии анализа бесконечно малых, сыграл важную роль в зарождении теории вероятности. В гидростатике Паскаль установил ее основной закон (закон Паскаля). “Письма к провинциалу” Паскаля явились шедевром французской классической прозы.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) — немецкий философ, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. В математике наряду с И. Ньютоном разработал дифференциальное и интегральное исчисление. Важный вклад внес в комбинаторику. С его именем, в частности, связаны теоретико-числовые задачи.

Готфрид Вильгельм Лейбниц имел мало внушительную внешность и поэтому производил впечатление довольно невзрачного человека. Однажды в Париже он зашел в книжную лавку в надежде приобрести книгу своего знакомого философа. На вопрос посетителя об этой книге книготорговец, осмотрев его с головы до ног, насмешливо бросил: “Зачем она вам? Неужели вы способны читать такие книги?” Не успел ученый ответить, как в лавку вошел сам автор книги со словами: “Великому Лейбницу привет и уважение!” Продавец никак не мог взять втолк, что перед ним действительно знаменитый Лейбниц, книги которого пользовались большим спросом среди ученых.

В дальнейшем важную роль будет играть следующая

Лемма. Пусть в множестве элементов, а в множестве — элементов. Тогда число всех различных пар , где будет равно .

Доказательство. Действительно, с одним элементом из множества мы можем составить таких различных пар, а всего в множестве элементов.

Размещения, перестановки, сочетания

Пусть у нас есть множество из трех элементов . Какими способами мы можем выбрать из этих элементов два? .

Определение. Размещениями множества из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по > элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Число всех размещений множества из элементов по элементов обозначается через (от начальной буквы французского слова “arrangement”, что означает размещение), где и .

Теорема. Число размещений множества из элементов по элементов равно

Доказательство. Пусть у нас есть элементы . Пусть — возможные размещения. Будем строить эти размещения последовательно. Сначала определим — первый элемент размещения. Из данной совокупности элементов его можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента для второго элемента остается способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Поэтому имеем:

Пример. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов?

Решение. Искомое число трехполосных флагов:

Определение. Перестановкой множества из элементов называется расположение элементов в определенном порядке.

Так, все различные перестановки множества из трех элементов — это

Число всех перестановок из элементов обозначается (от начальной буквы французского слова “permutation”, что значит “перестановка”, “перемещение”). Следовательно, число всех различных перестановок вычисляется по формуле

Пример. Сколькими способами можно расставить ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

Решение. Искомое число расстановки ладей

По определению!

Определение. Сочетаниями из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря, -элементные подмножества данного множества из элементов).

Как видим, в сочетаниях в отличие от размещений не учитывается порядок элементов. Число всех сочетаний из элементов по элементов в каждом обозначается (от начальной буквы французского слова “combinasion”, что значит “сочетание”).

Числа

Все сочетания из множества по два — .

Свойства чисел {\sf C}_n^k

Действительно, каждому -элементному подмножеству данного -элементного множества соответствует одно и только одно -элементное подмножество того же множества.

Действительно, мы можем выбирать подмножества из элементов следующим образом: фиксируем один элемент; число -элементных подмножеств, содержащих этот элемент, равно ; число -элементных подмножеств, не содержащих этот элемент, равно .

Треугольник Паскаля

В этом треугольнике крайние числа в каждой строке равны 1, а каждое не крайнее число равно сумме двух чисел предыдущей строки, стоящих над ним. Таким образом, этот треугольник позволяет вычислять числа .

Теорема.

Доказательство. Рассмотрим множество из элементов и решим двумя способами следующую задачу: сколько можно составить последовательностей из элементов данного
множества, в каждой из которых никакой элемент не встречается дважды?

1 способ. Выбираем первый член последовательности, затем второй, третий и т.д. член

2 способ. Выберем сначала элементов из данного множества, а затем расположим их в некотором порядке

Домножим числитель и знаменатель этой дроби на :

Пример. Сколькими способами можно в игре “Спортлото” выбрать 5 номеров из 36?

Искомое число способов

Задачи.

1. Номера машин состоят из 3 букв русского алфавита (33 буквы) и 4 цифр. Сколько существует различных номеров автомашин?
2. На рояле 88 клавиш. Сколькими способами можно извлечь последовательно 6 звуков?
3. Сколько есть шестизначных чисел, делящихся на 5?
4. Сколькими способами можно разложить 7 разных монет в три кармана?
5. Сколько можно составить пятизначных чисел, в десятичной записи которых хотя бы один раз встречается цифра 5?
6. Сколькими способами можно усадить 20 человек за круглым столом, считая способы одинаковыми, если их можно получить один из другого движением по кругу?
7. Сколько есть пятизначных чисел, делящихся на 5, в записи которых нет одинаковых цифр?
8. На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см нарисована окружность радиуса 100 см, не проходящая через вершины клеток и не касающаяся сторон клеток. Сколько клеток может пересекать эта окружность?
9. Сколькими способами можно расставить в ряд числа так, чтобы числа стояли рядом и притом шли в порядке возрастания?
10. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр , если каждую цифру можно использовать только один раз?
11. Из слова РОТ перестановкой букв можно получить еще такие слова: ТОР, ОРТ, ОТР, ТРО, РТО. Их называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова ЛОГАРИФМ?
12. Назовем разбиением натурального числа представление его в виде суммы натуральных чисел. Вот, например, все разбиения числа :

Разбиения считаются разными, если они отличаются либо числами, либо порядком слагаемых.

Сколько существует различных разбиений числа на слагаемых?
13. Сколько существует трехзначных чисел с невозрастающим порядком цифр?
14. Сколько существует четырехзначных чисел с невозрастающим порядком цифр?
15. Сколькими способами можно рассадить в ряд 17 человек, чтобы и оказались рядом?
16. девочек и мальчиков рассаживаются произвольным образом в ряду из мест. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы никакие две девочки не сидели рядом?
17. девочек и мальчиков рассаживаются произвольным образом в ряду из мест. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы все девочки сидели рядом?

Цель занятия: уметь применять основные формулы комбинаторики и знать условия применения этих формул; знать свойства биномиальных коэффициентов и уметь определять разложение бинома при конкретных значениях n.

План занятия:

1. Число размещений.

2. Число перестановок.

3. Число сочетаний.

4. Повторения.

5. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.

Методические указания по изучению темы

Во многих практических случаях возникает необходимость подсчитать количество возможных комбинаций объектов, удовлетворяющих определенным условиям. Такие задачи называются комбинаторными. Разнообразие комбинаторных задач не поддается исчерпывающему описанию, но среди них есть целый ряд особенно часто встречающихся, для которых известны способы подсчета.

Комбинаторика – область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combina – сочетать, соединять.

Пусть есть некоторое множество из n элементов: x 1, x 2, x 3, …, x n .

Из этого множества можно образовать различные подмножества, то есть выборки, каждая из которых содержит m элементов (0 ≤ m ≤ n). Различают упорядоченные выборки (размещения), перестановки и неупорядоченные выборки (сочетания).

Размещения

Размещениями n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число размещений из n элементов по m элементов обозначают (А – первая буква французского слова arrangement, что означает размещение, приведение в порядок) и вычисляют по формуле:

Понятие факториала

Произведение n натуральных чисел от 1 до n обозначается символом n ! (n факториал), то есть

Например, 2!=

5!=

Заметим, что удобно рассчитывать 0!, полагая по определению, 0!=1.

Примеры:

Из последних двух формул следует, что

Пример.

В однокруговом турнире по футболу участвуют 8 команд. Сколько существует вариантов призовой тройки?

Решение : Так как порядок команд в призовой тройке важен, то мы имеем дело с размещениями. Тогда

(вариантов).

Пример.

Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?

Решение:

(способов).

Пример.

Сколько можно составить телефонных номеров из 5 цифр так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различными?

(телефонных номеров).

Перестановки

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок из n элементов обозначают P n (P – первая буква французского слова permutation, что означает перестановка) и вычисляют по формуле:

Пример.

В финальном забеге на 100 метров участвуют 8 спортсменов. Сколько существует вариантов протокола забега?

Решение:

В данном случае речь идёт обо всех перестановках из 8 элементов. Тогда (вариантов)

Пример.

Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке10 человек?

Решение:

(способов)

Пример.

Сколькими способами можно разместить 7 лиц за столом, на котором поставлено 7 столовых приборов?

Решение:

(способов).

Сочетания

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний вычисляют по формуле: (С - первая буква французского слова combinasion).

Пример.

Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?

Решение :

(способов).

Пример.

Сколькими способами можно выбрать три детали из ящика, содержащего 15 деталей?

Решение:

(способов).

Другой вид формул числа размещений и числа сочетаний

; , то есть .

Свойства числа сочетаний:

5)

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами, а другой объект В – k способами, то объект «либо А, либо В» можно выбрать n+k способами.

Правило произведения. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами и после каждого такого выбора другой объект В – k способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана n×k способами.

Если некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.

Размещения с повторениями

Число размещений по m элементов с повторениями из n различных элементов равно n m ,то есть

Пример.

Из цифр 1,2,3,4,5 можно составить 5 3 =125 трехзначных чисел, если в одном и том же числе могут попадаться и одинаковые цифры.

Перестановки с повторениями

Если среди n элементов есть n 1 элементов одного вида, n 2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями

где

Пример.

Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове «математика»?

Решение:

Сочетания с повторениями

Число сочетаний с повторениями из n различных элементов по m элементов равно числу сочетаний без повторений из (n +m -1) различных элементов по m элементов:

Пример.

Найти число сочетаний с повторениями из четырех элементов a , b , c , d по 3 элемента.

Решение:

Искомое число будет

Бином Ньютона

Для произвольного положительного целого числа n справедлива следующая формула:

Это бином Ньютона. Коэффициенты называются биномиальными коэффициентами.

При n = 2 получим формулу ;

При n = 3 получим формулу .

Пример. Определить разложение при n=4.

Решение:

Биномиальные коэффициенты обладают рядом свойств:

2. ;

Рассмотрим следующий треугольник:

………………………….

Строка под номером n содержит биномиальные коэффициенты разложения . Воспользовавшись свойством , можно заметить, что каждый внутренний элемент треугольника равен сумме двух элементов, расположенных над ним, а боковые элементы треугольника – единицы:

……………………….

Это треугольник Паскаля. Он позволяет быстро найти значения биномиальных коэффициентов.

В русскоязычной литературе перестановки, составленные из n различных элементов выбором по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком, обычно называют размещениями, а под перестановками понимают всю совокупность комбинаций, состоящих из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения. В этом смысле число всех возможных перестановок для множества из n различных элементов считается по формуле факториала Pn = n! или в Excel «=ФАКТР(N)» (см. рис. № 1)

Например, если ввести «=ПЕРЕСТ(3;2)», получим 6. Это 6 комбинации: (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2).

А вот встроенная функция «=ЧИСЛКОМБ(N;K)» выдает комбинаторную формулу, называемую у нас «Число сочетаний». В русскоязычной литературе так именуют перестановки, составленные из n различных элементов выбором по m элементов, которые отличаются только составом элементов, а порядок их выбора безразличен (см. рис, №4)

При использовании встроенных функций пользуйтесь «Справкой по этой функции». Например:

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить:

2. Вычислить:

3. Вычислить:

4. Найти n , если 5С n 3 =

5. Найти n , если

6. Найти n , если

7. Найти n , если

8. Найти n , если , k n

9. Решить уравнение

10. Решить систему

11. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

12. Сколькими способами можно выбрать четыре лица на четыре различные должности из девяти кандидатов?

13. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различны?

14. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами могут быть распределены уроки в один день?

15. Сколько можно записать четырёхзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?

16. Фирма производит выбор из девяти кандидатов на три различные должности. Сколько существует способов такого выбора?

17. В восьмом классе изучается 15 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на среду, если известно, что в этот день должно быть 6 уроков?

18. В высшей лиге чемпионата страны по футболу 16 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?

19. Сколькими способами можно разместить 9 лиц за столом, на котором поставлено 9 приборов?

20. На собрании выступят 6 ораторов. Сколькими способами их фамилии можно расположить в списке?

21. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

22. Сколькими различными способами можно расставить 10 различных книг на полке, чтобы определённые 4 книги стояли рядом?

23. В однокруговом турнире по футболу участвуют 8 команд. Сколько всего матчей будет сыграно?

24. Из 25 студентов нужно выбрать трех делегатов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?

25. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

26. В колоде 36 карт, из них 4 туза. Сколькими способами можно извлечь 6 карт так, чтобы среди них было 2 туза?

27. Комплексная бригада состоит из двух маляров, трёх штукатуров и одного столяра. Сколько различных бригад можно создать из рабочего коллектива, в котором 15 маляров, 10 штукатуров и 5 столяров?

28. В отборочном турнире за 3 путёвки на чемпионат мира участвуют 10 команд. Сколько существует вариантов «счастливой тройки»?

29. Из 12 человек выбирают четверых для назначения на 4 одинаковые должности. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

30. Сколькими различными способами можно составить разведывательную группу из 3-х солдат и одного командира, если имеется 12 солдат и 3 командира?

31. На плоскости дано n точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Найти число прямых, которые можно получить, соединяя точки попарно.

32. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательность точек и тире. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?

33. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров?

34. Пусть буквы некоторой азбуки образуются как последовательность точек, тире и пробелов. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?

35. При игре в бридж между четырьмя игроками распределяется колода карт в 52 листа по 13 карт каждому игроку. Сколько существует различных способов раздать карты?

36. В почтовом отделении продаются открытки пяти видов. Определить число способов покупки семи открыток.

37. Два коллекционера обмениваются марками. Найти число способов обмена, если первый коллекционер обменивает 3 марки, а второй – 6 марок. (Обмен происходит по одной марке).

38. У одного студента 6 книг по математике, а у другого – 5. Сколькими способами они могут обменять 2 книги одного на 2 книги другого?

39. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: «замок», «ротор», «обороноспособность», «колокол», «семинар»?

40. Сколькими различными способами можно разместить в 9 клетках следующие 9 букв: а, а, а, б, б, б, в, в, в?

41. В автомашине 6 мест. Сколькими способами 6 человек могут сесть в эту машину, если занять место водителя могут только двое из них?

42. Сколькими способами из колоды в 52 карты можно извлечь 6 карт, содержащих туза и короля одной масти?

43. Определить разложение при n=5.

44. Определить разложение при n=8.

45. Найти член разложения , не содержащий x (то есть содержащий x в нулевой степени).

46. Найти шестой член разложения , если биномиальный коэффициент третьего от конца члена равен 45.

47. В разложении коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго члена. Найти свободный член, то есть член разложения, не зависящий от x (членом, не зависящим от x, будет тот, который содержит x в нулевой степени).

48. В разложении бинома найти члены, не содержащие иррациональности.

49. Найти номер того члена разложения , который содержит a и b в одинаковых степенях.

Практическое занятие №2

(интерактивное занятие в малых группах)

Булевы функции

Цель занятия: уметь строить различные булевы функции, проверять эквивалентность булевых формул (используя таблицу истинности), определять существенные и фиктивные переменные.

План занятия:

1. Основные операции

2. Булевы функции от n переменных

3. Основные эквивалентности

Аналоги комбинаторных концепций и методов используются и в топологии, при изучении дерева принятия решений, частично упорядоченных множеств, раскрасок графа и др.

25) Что называют перестановками?

Перестановки - различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т.е. могут быть получены из того же самого множества).

26) По какой формуле вычисляют число перестановок из n различных элементов?

Перестановки. Возьмём n различных элементов: a 1 , a 2 , a 3 , …, a n . Будем переставлять их всеми возможными способами, сохраняя их количество и меняя лишь порядок их расположения. Каждая из полученных таким образом комбинаций называетсяперестановкой. Общее количество перестановок из n элементов обозначается P n . Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до n :

Символ n ! (называется факториал ) - сокращённая запись произведения: 1 · 2 · 3 · … · (n – 1) · n .

П р и м е р. Найти число перестановок из трёх элементов: a , b , c .

Р е ш е н и е. В соответствии с приведенной формулой: P 3 = 1 · 2 · 3 = 6.
Действительно, мы имеем 6 перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

27) Что называют размещениями? Запишите формулу, по которой вычисляют число размещений из n элементов по m.

Размещения - это упрядоченные подмножества данного конечного множества.

Размещения. Будем составлять группы из m n элементов, располагая эти m взятых элементов в различном порядке. Полученные комбинации называются размещениями из n элементов по m .

Их общее количество обозначается: и равно произведению:

П р и м е р. Найти число размещений из четырёх элементов a, b, c, d по два.

Р е ш е н и е. В соответствии с формулой получим:

Вот эти размещения: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.

28) Что называют сочетаниями? Запишите формулу, по которой вычисляют число сочетаний из n элементов по m.

Сочетание без повторений из n элементов по m есть m -элементное подмножество некоторого n -элементного множества.

Коротко такие сочетания называют "сочетания из m по n " и их число обозначают или . Далее n -элементное множество будем обозначать как n -множество.

Сочетания. Будем составлять группы из m различных элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов, не принимая во внимание порядок расположения этих m элементов. Тогда мы получим сочетания из n элементов по m .

Их общее количество обозначается и может быть вычислено по формуле:

Из этой формулы ясно, что

Заметим, что можно составить только одно сочетание из n элементов по n , которое содержит все n элементов. Формула числа сочетаний даёт это значение, если только принять, что 0! = 1 , что является определением 0! .

В соответствии с этим определением получим:

Общее число сочетаний можно вычислить, пользуясь и другим выражением:

П р и м е р. Найти число сочетаний из пяти элементов: a, b, c, d, e по три.

Р е ш е н и е:

Эти сочетания: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.

29) По какой формуле вычисляется число перестановок из n элементов, если элементы повторяются?

Перестановками из n элементов называются размещения из этих n элементов по n (Перестановки - частный случай размещений).

Число перестановок без повторений (n

Пример . Возьмем буквы Б, А, Р . Какие перестановки из этих букв можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буква А повторяется два раза?

Решение.

1. Получатся наборы: БАР, БРА, АРБ, АБР, РАБ, РБА.

По формуле (3.3) получаем: наборов.

2. Получатся наборы: БАРА, БРАА, БААР, ААРБ, ААБР, АБАР, АРАБ, АРБА, АБРА, РАБА, РААБ, РБАА.

По формуле (3.4) получаем: наборов.

Пример . Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы цифры в числе не повторялись?

Решение. Из данных шести цифр можно составить Р 6 = 6! = 720 перестановок. Но числа, начинающиеся на нуль, не являются шестизначными. Такие числа отличаются друг от друга перестановкой пяти остальных цифр, значит, их будет Р 5 = 120. Поэтому шестизначных чисел будет 720 - 120 = 600 чисел.

Пример . Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ладьи, 2 коня, 2 слона, ферзь и король) на первой линии шахматной доски?

Решение. Первая линия шахматной доски представляет собой 8 клеток, на которых и надо расположить эти 8 фигур. Различные варианты расположения будут отличаться только порядком фигур, значит, это будут перестановки с повторениями Р 8 (2,2,2).

По формуле (3.4) получаем: способов.

30) Какой формулой определяется число размещений с повторениями из n элементов по m элементов?

Размещения

Размещениями из n элементов по m элементов (m < n ) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Число размещений без повторений из n по m (n различных элементов) вычисляется по формуле:

Пример . Возьмем буквы Б, А, Р . Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буквы могут повторяться?

Решение.

1. Получатся следующие наборы: БА, БР, АР, АБ, РБ, РА .

По формуле (3.1) получаем: наборов.

2. Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АБ, АР, РР, РБ, РА.

По формуле (3.2) получаем: наборов.

Пример. Вдоль дороги стоят 6 светофоров. Сколько может быть различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния: "красный", "желтый", "зеленый"?

Решение. Выпишем несколько комбинаций: КККЖЗЗ, ЗЗЗЗЗЗ, КЖЗКЖЗ... Мы видим, что состав выборки меняется и порядок элементов существенен (ведь если, например, в выборке КЖЗКЖЗ поменять местами К и Ж, ситуация на дороге будет другой). Поэтому применяем формулу (3.2) и вычисляем число размещений с повторениями из 3 по 6, получаем комбинаций.

31) Какой формулой определяется число сочетаний с повторениями из n элементов по m элементов?

Сочетания

Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые различаются хотя бы одним элементом (отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов).

Число сочетаний без повторений (n различных элементов, взятых по m ) вычисляется по формуле:

Пример . Возьмем буквы Б, А, Р . Какие сочетания из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) можно брать по два одинаковые буквы.

Решение .

1. Получатся наборы: БА (БА и АБ - один и тот же набор), АР и РБ

По формуле (3.5) получаем: наборов.

2. Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АР, РР.

По формуле (3.6) получаем: наборов.

Пример . Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Надо выбрать двух человек из 20. Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть Иванов-Петров или Петров-Иванов - это одна и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.

По формуле (3.5) получаем: способов.

Пример . В хлебном отделе имеются булки белого и черного хлеба. Сколькими способами можно купить 6 булок хлеба?

Решение. Обозначая булки белого и черного хлеба буквами Б и Ч, составим несколько выборок: ББББББ, ББЧЧББ, ЧЧЧЧЧБ, ... Состав меняется от выборки к выборке, порядок элементов несущественен, значит это - сочетания с повторениями из 2 по 6. По формуле (3.6) получаем способов.

Cделаем проверку и выпишем все варианты покупки: ББББББ, БББББЧ, ББББЧЧ, БББЧЧЧ, ББЧЧЧЧ, БЧЧЧЧЧ, ЧЧЧЧЧЧ. Их действительно 7.

32) Что называют суммой двух событий?

Суммойдвух событийи называют событие, состоящее в появлении события , или события , или обоих этих событий.
Суммой нескольких событий называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

33) Что называют произведением двух событий?

Произведением двух событийи называют событие , состоящее в совместном появлении этих событий.

34) Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?

Событие называют независимым от события , если появление события не меняет вероятности появления события , то есть если условная вероятность события равна его безусловной вероятности:
.
Свойство независимости событий взаимно: если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .
Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий:
.
Несколько событий называют попарно независимыми , если каждые два из них независимы.
Несколько событий называют независимыми в совокупности , если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

35) Сформулируйте теорему сложения?

Вероятность р (А + В ) суммы событий А и В равна

Р (А + В ) = р (А ) + р (В ) – р (АВ ). (2.2)

Доказательство.

Докажем теорему сложения для схемы случаев. Пусть п – число возможных исходов опыта, т А – число исходов, благоприятных событию А , т В – число исходов, благопри-ятных событию В , а т АВ – число исходов опыта, при которых происходят оба события (то есть исходов, благоприятных произведению АВ ). Тогда число исходов, при которых имеет место событие А + В , равно т А + т В – т АВ (так как в сумме (т А + т В ) т АВ учтено дважды: как исходы, благоприятные А , и исходы, благоприятные В ). Следовательно, вероятность суммы можно определить по формуле 2,2 что и требовалось доказать.