Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx → 0 и учитывая, что производная f "(x 0) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Δx → 0, получаем: при Δx → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 а при Δx → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Так как f " (x 0) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f " (x 0) = 0.

Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль.

Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех случаях, когда производная не существует? Рассмотрим примеры.

y =|x |.

Функция не имеет производной в точке x =0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной), но в этой точке функция имеет минимум, так как y (0)=0, а при всех x ≠ 0y > 0.

Таким образом, из приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не существует.

Однако, если в некоторой точке x 0 мы знаем, что f "(x 0 ) =0, то отсюда нельзя делать вывод, что в точке x 0 функция имеет экстремум.

Например.

Но точка x =0 не является точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены ниже оси Ox , а справа выше.

Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками .

Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого служит следующая теорема.

Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x 0 , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x 0). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x 0 функция имеет максимум. Если же при переходе через x 0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

f "(x) >0 при x <x 0 и f "(x)< 0 при x> x 0 , то x 0 – точка максимума;

Доказательство . Предположим сначала, что при переходе через x 0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x , близких к точке x 0 f "(x)> 0 для x< x 0 , f "(x)< 0 для x> x 0 . Применим теорему Лагранжа к разности f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), где c лежит между x и x 0 .

Пусть x < x 0 . Тогда c< x 0 и f "(c)> 0. Поэтомуf "(c)(x- x 0)< 0и, следовательно,

f(x) - f(x 0 )< 0,т.е. f(x)< f(x 0 ).

Пусть x > x 0 . Тогда c> x 0 и f "(c)< 0. Значитf "(c)(x- x 0)< 0. Поэтому f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x 0 f(x) < f(x 0 ) . А это значит, что в точке x 0 функция имеет максимум.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме.

Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке. Пусть f "(x 1 ) =0 и для любых x, достаточно близких к x 1 , выполняются неравенства

f "(x)< 0 при x< x 1 , f "(x)> 0 при x> x 1 .

Тогда слева от точки x 1 функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x = x 1 функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.

Аналогично можно рассматривать точки x 2 и x 3 .

Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке:

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

Найти область определения функции f(x).

Найти первую производную функции f "(x) .

Определить критические точки, для этого:

найти действительные корни уравнения f "(x) =0;

найти все значения x при которых производная f "(x) не существует.

Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.

Вычислить значение функции в точках экстремума.

>> Экстремумы

Экстремум функции

Определение экстремума

Функция y = f (x ) называется возрастающей (убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) > f (x 2)).

Если дифференцируемая функция y = f (x ) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f " (x ) > 0

(f " (x ) < 0).

Точка x о называется точкой локального максимума (минимума ) функции f (x ), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f (x ) ≤ f (x о ) (f (x ) ≥ f (x о )).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Точки экстремума

Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f (x ), то либо f " (x о ) = 0, либо f (x о ) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x о - критическая точка. Если f " (x ) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f (x ) имеет
f " (x ) в окрестности точки x о и вторую производную в самой точке x о . Если f " (x о ) = 0, >0 ( <0), то точка x о является точкой локального минимума (максимума) функции f (x ). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие .

На отрезке функция y = f (x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Пример 3.22.

Решение. Так как f " (

Задачи на нахождения экстремума функции

Пример 3.23. a

Решение. x и y y
0 ≤ x ≤
> 0, а при x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции кв . ед ).

Пример 3.24. p ≈

Решение. p p
S "
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Пример 3.22. Найти экстремумы функции f (x ) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение. Так как f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f (2) = 14 и минимум f (3) = 13.

Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение. Обозначим стороны площадки через x и y . Площадь площадки равна S = xy . Пусть y - это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a . Поэтому y = a - 2x и S = x (a - 2x), где
0 ≤ x ≤ a /2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S " = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a - 2 × a/4 =a/2. Поскольку x = a /4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x a /4 S " > 0, а при x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв . ед ). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a /2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16 p ≈ 50 м 3 . Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2 p R(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R 2 = 16/ R 2 . Значит, S(R) = 2 p (R 2 +16/R). Находим производную этой функции:
S " (R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 при R 3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Экстремум (от лат. extremum - крайнее)

значение непрерывной функции f (x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х 0 функция f (x) имеет в x 0 максимум (минимум), если существует окрестность (x 0 + δ, x 0 - δ) этой точки, содержащаяся в области определения f (x ), и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство f (x 0 ), ≥ f (x ) [соответственно, f (x 0 ) ≤ f (x )]. Если при этом существует такая окрестность, что в ней f (x 0 ) > f (x ) [или f (x 0 ) (x )] при х ≠ x 0 , то говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном случае - о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на рис. 1 в точке А достигается строгий максимум, в точке В - нестрогий минимум). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция f (x ) имела Э. в некоторой точке x 0 , необходимо, чтобы она была непрерывна в x 0 и чтобы либо f` (x 0 ) = 0 (точка А на рис. 1 ), либо f` (x 0 ) не существовала (точка С на рис. 1 ). Если при этом в некоторой окрестности точки x 0 производная f" (x ) слева от x 0 положительна, а справа отрицательна, то f (x ) имеет в x 0 максимум; если f" (x ) слева от x 0 отрицательна, а справа положительна, то - минимум (первое достаточное условие Э.). Если же f" (x ) не меняет знака при переходе через точку x 0 , то функция f (x ) не имеет Э. в точке x 0 (точки D, Е и F на рис. 1 ). Если f (x ) в точке x 0 имеет п последовательных производных, причём f" (x 0 ) = f`` (x 0 ) =...= f (n-1) (x 0 )=0, a f (n) (x 0 )≠0, то при п нечётном f (x ) не имеет Э. в точке x 0 , а при п чётном имеет минимум, если f (n) (x 0 ) > 0, и максимум, если f (n) (x 0 ) Э. функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции (См. Наибольшее и наименьшее значения функции).

Аналогично Э. функции одного переменного определяется Э. функции нескольких переменных. Необходимым условием Э. является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2 частные производные равны нулю в точке М , на рис. 3 в точке М они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М (х 0 , y 0 ) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции f (x, у ) и в самой точке f" x = f" y = 0,

Δ = f " xx f " уу > 0,

то f (x, у ) в точке М имеет Э. (максимум при f " xx 0 и минимум при f " xx > 0); Э. в точке М не существует, если Δ М является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. рис. 4 ).

Достаточные условия Э. функций многих переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определённости квадратичной формы

Σ n i, k=1 a ik Δx i Δx k

Термин «Э.» употребляется также при изучении наибольших и наименьших значений функционалов в вариационном исчислении (См. Вариационное исчисление).

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Экстремум" в других словарях:

- (от латинского extremum крайнее), общее название максимума и минимума … Современная энциклопедия

- (от лат. extremum крайнее) см. Максимум и минимум … Большой Энциклопедический словарь

Сущ., кол во синонимов: 1 термин (18) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

- (от лат. extremum крайнее) англ. extreme; нем. Extremum. Значение нек рой величины или функции / (х), являющееся ее максимумом или минимумом. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии

экстремум - крайнее значение — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом Синонимы крайнее значение EN extreme value … Справочник технического переводчика

Экстремум - (от латинского extremum крайнее), общее название максимума и минимума. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

У этого термина существуют и другие значения, см. Экстремум (значения). Экстремум (лат. extremum крайний) в математике максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум,… … Википедия

- (лат. extremum крайнее) мат. наибольшие и наименьшие значения функции; употр. для объединения понятий максимума и минимума. Новый словарь иностранных слов. by EdwART, 2009. экстремум [ Словарь иностранных слов русского языка

- [рэ], а; м. [лат. extremum крайнее] Матем. Наибольшее и наименьшее значения функции, включающие понятия минимума и максимума. * * * экстремум (от лат. extremum крайнее), см. Максимум и минимум. * * * ЭКСТРЕМУМ ЭКСТРЕМУМ (от лат. extremum… … Энциклопедический словарь

экстремум - Экстремальная точка, Экстремум (Extreme point) Самая верхняя, самая нижняя, крайняя левая и крайняя правая точки контура, то есть точки в пределах контура знака, значение координат которых по одной из осей минимальное или максимальное … Шрифтовая терминология

Книги

• Комплект таблиц. Математика. Производная и ее применение. 12 таблиц + карточки + методика , . Учебный альбом из 12 листов и 48 карточек. Приращение аргумента. Приращение функции. Производная. Физический производной. Касательная к кривой. Геометрический смыслпроизводной. Критические…

(левая и правая производная различны), однако она возрастает при всех значениях х , в том числе и в точкех = 0.

Замечание 2. Опираясь на более «мягкие» условия, можно сформулировать прямую теорему: если производная функции, непрерывной на промежутке, неотрицательна, то функция на этом промежутке не убывает. Тогда прямая и обратная теоремы на формализованном языке звучат так:

функции f (x) , если существует такая окрестность точки x0 , что для всех х из этой окрестности f(x) ≤ f(x0 ) .

Определение. Точка x0 называется точкой локального минимума функции f(x) , если существует такая окрестность точки x0 , что для всех х из этой окрестности f(x) ≥ f(x0 ) .

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Максимум и минимум функции называются ее локальными экстремумами

(extremum – крайний).

Определение. Точка x0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции y= f(x) , если для всех х из окрестности точки x0 верно строгое неравенство f(x) < f(x0 ) (соответственно

f (x) > f(x0 ) ).

Замечание. В приведенном определении локального экстремума мы не предполагаем непрерывности функции в точкеx 0 .

точке максимум, поскольку существует окрестность точки х = 0, в которойf (x )< f (x 0 ).

Наибольшее (наименьшее) значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом. Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

Теорема 2. (о необходимом условии экстремума).

Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке x0 , то ее производная f′ (x0 ) в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

◄Если в точке x 0 функция имеет экстремум и дифференцируема, то в

некоторой окрестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма, следовательно, производная функции в этой точке равна нулю.

Но функция y = f (x ) может иметь экстремум и не быть дифференцируемой в этой точке. Достаточно указать пример. Примером может

Замечание 3 . Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Пример 4. Рассмотрим функциюy = x 3 . Критической для этой функции

является точка х = 0, что следует из уравненияf ′ (x )= 3x 2 = 0. Однако эта функция при всехх является возрастающей и экстремума не имеет.

Если при переходе с левого интервала на правый функция продолжает убывать, то в точке x 0 не будет достигаться минимальное значение функции

(экстремума нет).

Аналогично доказывается существование максимума.

На рис. 2 a-h представлены возможные случаи наличия или отсутствия экстремума непрерывной функции, производная которой в критической точке равна нулю или обращается в бесконечность.

точки х = 0 меняет знак бесконечно много раз. Поэтому функцияf (x ) не

является монотонно убывающей или возрастающей ни слева, ни справа от точки х = 0.

Схема исследования функции на экстремум:

1) найти производную f ′ (x );

2) найти критические точки, т.е. такие значения х , в которыхf ′ (x )= 0 или

f ′ (x ) = ∞;

3) исследовать знак производной слева и справа от каждой критической

меняется, то в точке x 0 функцияf (x ) не имеет ни максимума, ни минимума; 4) найти значения функции в экстремальных точках.

Теорема 4. (2 -ое достаточное условие экстремума). Пусть для функцииy = f (x ) выполнены следующие условия:

1. y = f (x ) непрерывна в окрестности точкиx 0 ,

2. f ′ (x )= 0 в точкеx 0

3. f ′′ (x )≠ 0 в точкеx 0 .

поэтому есть экстремум. Знак производной меняется с минуса на плюс, значит, это минимум. Аналогично доказывается случай f ′′ (x 0 )< 0 .

Пример 8 . Исследовать на экстремум функциюy = x 2 + 2x + 3. Находим производнуюy ′= 2x + 2 .

1) Находим критические точки, для чего приравниваем к нулю производную: y ′= 2x + 2= 0,→ x 0 = - 1.

2) Изучаем знак производной слева и справа от этой точки (рис. 6).

Поскольку знак производной меняется с минуса на плюс, в точке х = − 1 достигается минимум.

3) Находим величину минимума: ymin (− 1)= 2.

3) Исследуем знак у" слева и справа от точкиx = 0. Очевидно,f ′ (x )< 0 ,

минимума данной функции.

4) ymin (0)= 1.

Пример 10.

Исследовать на экстремум функцию y = e -x 2 .

1) Находим первую производную: y ′= - 2xe -x 2 .

2) Приравнивая производную нулю, находим единственную критическую точку x = 0.

3) Далее находим вторую производную: y ′′= − 2e - x 2 + 4x 2 e − x 2 . Ее значение

в точке x = 0 равно -2.

4) Делаем вывод о наличии максимума функции и вычисляем: y max (0)= 1.

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке

Если функция f (x ) определена и непрерывна на отрезке [а ;b ], то,

согласно 2-й теореме Вейерштрасса, она на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Если свое наибольшее значение М функцияf (x ) принимает вовнутренней точке x 0 отрезка [а ;b ], тоM = f (x 0 ) будет локальным максимумом функцииf (x ), т. к. в этом случае существует окрестность точкиx 0 такая, что значенияf (x ) для всех точекх из этой окрестности будут не

больше f (x 0 ) .

Однако свое наибольшее значение М функцияf (x )может принимать и на концах отрезка [а ;b ]. Поэтому, чтобы найти наибольшее значениеМ непрерывной на отрезке [а ;b ] функцииf (x ), надо найти все максимумы функции в интервале(а ;b ) и значенияf (x ) на концах отрезка [а ;b ] и выбрать

среди них наибольшее число. Вместо ограничиться нахождением значений Наименьшим значением m непрерывной

исследования на максимум можно функции в критических точках. на отрезке [а ;b ] функцииf (x ) будет

наименьшее число среди всех минимумов функции f (x ) в интервале (a ;b ) и значенийf (a ) иf (b ) .