В соответствии с условиями сходимости этот ряд сходится во всех точках кроме точки t = 0, где он равен полусумме левого и правого пределов в этой точке . Это действительно так, потому что .

6.5. Функции Бесселя

Бесселевыми или цилиндрическими функциями называются решения линейного дифференциального уравнения Бесселя

, (6.13)

где z – комплексная переменная, ν – параметр, порядок, значок или индекс, также может быть произвольным комплексным числом.

В приложениях часто приходится рассматривать случай, когда ν = n – целое число. Под цилиндрическими функциями понимают следующие функции: функции Бесселя J ν (z ), функции Неймана N ν (z ), часто называемые функциями Вебера с обозначением Y ν (z ), и функции Ганкеля H ν (1) (z ), H ν (2) (z ). Названные функции при фиксированном являются аналитическими функциями z . Часто функции Бесселя приходится рассматривать при фиксированном z как функции значка ν . При этом она является целой функцией комплексной переменной ν .

Целой функцией называется аналитическая функция, представимая всюду сходящимся рядом Тейлора .

Между функциями J ν (z ), N ν (z ) или Y ν (z ), H ν (1) (z ), H ν (2) (z ) имеют место зависимости, аналогичные формулам Эйлера:

; .

С физической точки зрения гармонические функции описывают незатухающие колебания постоянной частоты, в то время как функции Бесселя характеризуют слабозатухающий осциллирующий процесс, частота которого становится постоянной лишь в ассимптотике.

Отыскивая решение уравнения (6.13) в виде обобщённого степенного ряда , где a m и a – подлежащие определению коэффициенты и значение параметра соответственно, получим два частных решения:

; , (6.14)

которые при являются линейно независимыми и их линейная комбинация образует общее решение уравнения (6.13).

Если ν = n , то между функциями J п (z ) и J –п (z ) существует линейная зависимость вида .

Для получения общего решения уравнения (6.13) для ν = n и вводится функция Неймана

.

Функции J ν (z ) и N ν (z ) образуют фундаментальную линейно независимую систему решений уравнения Бесселя при любых значениях v , в том числе и при целых.

Функции Бесселя чисто мнимого аргумента (модифицированные функции Бесселя).

; .

Входящие в эти выражения ряды и определяют модифицированные функции Бесселя

; . (6.15)

То, что ряды (6.14) являются знакопеременными, а (6.15) – знакопостоянными определяет резкое различие в их поведении (см. рис.6.9 и рис.6.10, на которых представлены графики функций J n (x ) и I n (x ) соответственно).

.

В частности, при с учётом того, что , получим:

.

Три соседних по значку функций Бесселя связаны соотношением

. (6.16)

Аналогичные формулы имеют место и для модифицированных функций Бесселя:

; .

Из определения (6.15), учитывая поведение гамма-функции при отрицательных целых значениях аргумента, нетрудно показать, что I -n (x ) = I n (x ) и, следовательно, .

При полуцелом значке , где n – целое число, функции Бесселя выражаются через элементарные функции, так как выполняются соотношения и , что позволяет с помощью рекуррентного соотношения (6.16) определить и так далее.

Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида \[{x^2}y"" + xy" = \left({{x^2} - {v^2}} \right)y = 0\] называется уравнением Бесселя . Число \(v\) называется порядком уравнения Бесселя .

Данное дифференциальное уравнение было названо в честь немецкого математика и астронома Фридриха Вильгельма Бесселя , который подробно исследовал его и показал (в \(1824\) году), что решения уравнения выражаются через специальный класс функций, получивших название цилиндрических функций или функций Бесселя .

Конкретное представление общего решения зависит от числа \(v.\) Далее мы отдельно рассмотрим два случая:

Порядок \(v\) является нецелым числом;

Порядок \(v\) является целым числом.

Случай 1. Порядок \(v\) является нецелым числом

Полагая, что число \(v\) является нецелым и положительным, общее решение уравнения Бесселя можно записать в виде \ где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные постоянные, а \({J_v}\left(x \right),\) \({J_{ - v}}\left(x \right)\) − функции Бесселя первого рода .

Функцию Бесселя первого рода можно представить в виде ряда, члены которого выражаются через так называемую гамма-функцию : \[{J_v}\left(x \right) = \sum\limits_{p = 0}^\infty {\frac{{{{\left({ - 1} \right)}^p}}}{{\Gamma \left({p + 1} \right)\Gamma \left({p + v + 1} \right)}}{{\left({\frac{x}{2}} \right)}^{2p + v}}} .\] Гамма-функция является расширением факториальной функции с множества целых на множество действительных чисел. В частности, она обладает следующими свойствами: \[ {\Gamma \left({p + 1} \right) = p!,}\;\; {\Gamma \left({p + v + 1} \right) = \left({v + 1} \right)\left({v + 2} \right) \cdots \left({v + p} \right)\Gamma \left({v + 1} \right).} \] Аналогичным образом записываются функции Бесселя первого рода отрицательного порядка (с индексом \(-v\)). Здесь мы предполагаем, что \(v > 0.\) \[{J_{ - v}}\left(x \right) = \sum\limits_{p = 0}^\infty {\frac{{{{\left({ - 1} \right)}^p}}}{{\Gamma \left({p + 1} \right)\Gamma \left({p - v + 1} \right)}}{{\left({\frac{x}{2}} \right)}^{2p - v}}} .\] Функции Бесселя вычисляются в большинстве математических пакетов. Для примера вид функций Бесселя первого рода порядка от \(v = 0\) до \(v = 4\) показан на рисунке \(1.\) Эти функции можно вычислить также и в MS Excel.

Случай 2. Порядок \(v\) является целым

Если порядок \(v\) дифференциального уравнения Бесселя является целым, то функции Бесселя первого рода \({J_v}\left(x \right)\) и \({J_{ - v}}\left(x \right)\) становятся зависимыми друг от друга. В этом случае общее решение уравнения будет описываться другой формулой: \ где \({Y_v}\left(x \right)\) − функция Бесселя второго рода . Иногда это семейство функций называют также функциями Неймана или функциями Вебера .

Функцию Бесселя второго рода \({Y_v}\left(x \right)\) можно выразить через функции Бесселя первого рода \({J_v}\left(x \right)\) и \({J_{ - v}}\left(x \right):\) \[{Y_v}\left(x \right) = \frac{{{J_v}\left(x \right)\cos \pi v - {J_{ - v}}\left(x \right)}}{{\sin \pi v}}.\] Графики функций \({Y_v}\left(x \right)\) для нескольких первых порядков \(v\) представлены выше на рисунке \(2.\)

Примечание : В действительности общее решение дифференциального уравнения Бесселя можно выразить через функции Бесселя первого и второго рода также и для случая нецелого порядка \(v.\)

Некоторые дифференциальные уравнения, приводимые к уравнению Бесселя

1. Еще одним хорошо известным уравнением данного класса является модифицированное уравнение Бесселя , которое получается из регулярного уравнения Бесселя заменой \(x\) на \(-ix.\) Это уравнение имеет вид: \[{x^2}y"" + xy" - \left({{x^2} + {v^2}} \right)y = 0.\] Решение данного уравнения выражается через так называемые модифицированые функции Бесселя первого и второго рода : \[ {y\left(x \right) = {C_1}{J_v}\left({ - ix} \right) + {C_2}{Y_v}\left({ - ix} \right) } = {{C_1}{I_v}\left(x \right) + {C_2}{K_v}\left(x \right),} \] где \({I_v}\left(x \right)\) и \({K_v}\left(x \right)\) обозначают модифицированные функции Бесселя, соответственно, первого и второго рода.

2. Дифференциальное уравнение Эйри , известное в астрономии и физике, записывается в виде: \ Его также можно свести к уравнению Бесселя. Решение уравнения Эйри выражается через функции Бесселя дробного порядка \(\pm \large\frac{1}{3}\normalsize:\) \[ {y\left(x \right) } = {{C_1}\sqrt x {J_{\large\frac{1}{3}\normalsize}}\left({\frac{2}{3}i{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}} \right) + {C_2}\sqrt x {J_{ - \large\frac{1}{3}\normalsize}}\left({\frac{2}{3}i{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}} \right).} \]
3. Дифференциальное уравнение вида \[{x^2}y"" + xy" + \left({{a^2}{x^2} - {v^2}} \right)y = 0\] отличается от уравнения Бесселя лишь множителем \({a^2}\) перед \({x^2}\) и имеет общее решение в следующем виде: \
4. Похожее дифференциальное уравнение \[{x^2}y"" + axy" + \left({{x^2} - {v^2}} \right)y = 0\] также сводится к уравнению Бесселя \[{x^2}z"" + xz" + \left({{x^2} - {n^2}} \right)z = 0\] с помощью подстановки \ Здесь параметр \({n^2}\) обозначает \[{n^2} = {v^2} + \frac{1}{4}{\left({a - 1} \right)^2}.\] В результате, общее решение данного дифференциального уравнения определяется формулой \.\]
Специальные функции Бесселя широко используются в решении задач математической физики, например, при исследовании

распространения волн;

теплопроводности;

колебаний мембран

в случаях, когда объекты имеют цилиндрическую или сферическую симметрию.

Для того чтобы перейти к решению задачи о колебаниях круглой мембраны, мы предварительно должны познакомиться с функциями Бесселя. Функции Бесселя являются решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

Это уравнение называется уравнением Бесселя. И само уравнение, и его решения встречаются не только в задаче о колебаниях круглой мембраны, по и в очень большом числе других задач.

Параметр k, входящий в уравнение (10.1), может, вообще говоря, принимать любые положительные значения. Решения уравнения при заданном k называются бесселевыми функциями порядка k (иногда их называют цилиндрическими функциями). Мы рассмотрим детально лишь наиболее простые случаи, когда и так как в дальнейшем изложении нам встретятся только бесселевы функции нулевого и первого порядков.

Для общего изучения бесселевых функций мы отсылаем читателя к специальным руководствам (см., например, }